La culminación exitosa de los cursos fundamentales de cálculo diferencial e integral en una sola variable y de álgebra lineal elemental representa un punto de inflexión crítico en la formación matemática, científica y de ingeniería. Históricamente, y en la estructura curricular de instituciones técnicas de prestigio, este hito marca la transición desde el análisis de sistemas estáticos y unidimensionales hacia el modelado de una realidad inherentemente dinámica, multidimensional y acoplada. Los cursos que siguen a esta etapa, habitualmente codificados bajo nomenclaturas como Matemáticas III (MAT023) o Matemáticas IV (MAT024), exigen un salto epistemológico monumental. El estudiante ya no busca la pendiente de una curva aislada ni la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas estático; en su lugar, se enfrenta al estudio del cambio simultáneo en múltiples dimensiones, a la evolución temporal de sistemas físicos y a la abstracción de funciones como vectores en espacios de dimensión infinita.
El presente informe técnico de investigación ha sido diseñado para proporcionar una contextualización profunda, exhaustiva y rigurosa de los temas que componen este nuevo horizonte matemático. A través de un recorrido histórico detallado y un análisis de sus aplicaciones tecnológicas contemporáneas, este documento unifica conceptualmente las ramas del cálculo multivariable, el análisis vectorial, las ecuaciones diferenciales ordinarias, las series de Fourier y las transformadas integrales. El objetivo es demostrar cómo el álgebra lineal y el cálculo de una variable, previamente estudiados como disciplinas separadas, colisionan y se fusionan para dar origen a las herramientas matemáticas que hoy sostienen desde la inteligencia artificial y la computación gráfica hasta la criptografía post-cuántica y la teoría de control aeroespacial.
La Unificación Conceptual: El Álgebra Lineal se Encuentra con el Cálculo
Durante el estudio del cálculo en una variable, el concepto central es la derivada, entendida geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto determinado y analíticamente como la tasa de cambio instantánea de una variable dependiente respecto a una independiente. Por su parte, el curso de álgebra lineal proporciona el lenguaje para manipular múltiples variables de manera simultánea mediante vectores, matrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales. El cálculo multivariable nace precisamente de la necesidad de fusionar estos dos paradigmas para describir sistemas con múltiples grados de libertad.
El Operador de Derivación Multivariable: La Matriz Jacobiana
Cuando se modelan fenómenos de la realidad física, económica o computacional, las funciones rara vez dependen de un único parámetro de entrada ni producen una única salida. El cálculo multivariable introduce inicialmente el concepto de derivadas parciales, donde se analiza la tasa de cambio de una función respecto a una variable específica mientras las demás se mantienen rígidamente constantes. Sin embargo, la verdadera revolución conceptual ocurre cuando es necesario derivar funciones vectoriales de múltiples variables, es decir, mapeos de la forma f: R^n → R^m.
Esta síntesis matemática se materializa en la Matriz Jacobiana, bautizada en honor al matemático prusiano Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). Si en el cálculo de una variable la derivada representa el factor de escala de la mejor aproximación lineal de una curva en un entorno local, la Matriz Jacobiana contiene todas las primeras derivadas parciales de las componentes de una función vectorial, constituyendo así la mejor aproximación lineal multivariable. Desde la perspectiva del álgebra lineal, evaluar la matriz Jacobiana en un punto específico genera una transformación lineal que mapea pequeñas variaciones en el espacio n-dimensional de entrada hacia variaciones correspondientes en el espacio m-dimensional de salida. El determinante de esta matriz, conocido como determinante Jacobiano, es un operador insustituible en la teoría de integración múltiple. En álgebra lineal elemental, el determinante de una matriz de transformación mide el factor por el cual se expande o se contrae el área o volumen de una figura geométrica. De manera análoga y generalizada, en cálculo multivariable el determinante Jacobiano mide el factor de expansión, contracción o distorsión local del hipervolumen cuando se transforma un sistema de coordenadas continuas, procedimiento indispensable para resolver integrales múltiples mediante cambios a coordenadas polares, cilíndricas o esféricas.
La Regla de la Cadena Multivariable y el Aprendizaje Profundo (Deep Learning)
La conceptualización de la Matriz Jacobiana trasciende su uso geométrico en la física clásica. Las arquitecturas de redes neuronales artificiales son, en su definición matemática, composiciones iterativas de funciones multivariables no lineales. Durante la fase de entrenamiento, el algoritmo debe ajustar millones o miles de millones de parámetros —pesos y sesgos— con el fin de minimizar una función de error o pérdida escalar. El mecanismo fundamental que posibilita este ajuste es la retropropagación o backpropagation, que puede entenderse como la aplicación exhaustiva, sistemática y computacionalmente eficiente de la regla de la cadena del cálculo multivariable.
Cuando una señal de entrada se procesa a través de múltiples capas ocultas, la sensibilidad de la función de pérdida final frente a un pequeño cambio en los pesos de las capas iniciales requiere multiplicar las derivadas parciales de cada capa intermedia. Para una red con x_1 = f_1(x, θ_1), x_2 = f_2(x_1, θ_2) y una pérdida L = ℓ(x_3), el objetivo es calcular el vector gradiente de L respecto de los parámetros θ. El Jacobiano organiza estas derivadas parciales cruzadas en matrices altamente estructuradas y la regla de la cadena reduce el cálculo a una secuencia de multiplicaciones de matrices Jacobianas. Esta conexión explica también el papel central de las GPUs y del hardware tensorial especializado, diseñados para ejecutar operaciones matriciales masivamente paralelas.
La Guerra de los Vectores: De la Filosofía Abstracta al Análisis Espacial
El análisis vectorial incluye operadores diferenciales direccionales como el gradiente, la divergencia y el rotacional, además de teoremas de integración de campos escalares y vectoriales a lo largo de curvas y superficies. Hoy esta materia se presenta con una elegancia sintética y unificada, pero la historia de cómo se consensuó la representación matemática de magnitudes físicas tridimensionales con dirección y sentido fue una de las contiendas intelectuales más intensas de la ciencia: la llamada “Guerra de los Vectores”.
La Búsqueda de una Geometría Tridimensional: Cuaterniones y Álgebras Exteriores
A comienzos del siglo XIX, los matemáticos podían representar magnitudes bidimensionales, rotaciones y transformaciones en el plano mediante números complejos. El desafío era extender esa lógica al espacio físico tridimensional. En 1843 William Rowan Hamilton comprendió que la multiplicación espacial exigía abandonar la propiedad conmutativa y formuló la relación i² = j² = k² = ijk = −1. Había creado el cuaternión, un ente hipercomplejo de cuatro dimensiones constituido por una parte escalar y una parte vectorial tridimensional. Casi simultáneamente, Hermann Grassmann concibió en 1844 un sistema más general, hoy conocido como Álgebra Exterior, capaz de operar en espacios de cualquier dimensión n e introducir el producto cuña para representar áreas y volúmenes orientados. Su obra tardó décadas en ser adoptada por la densidad y abstracción de su presentación.
Durante la segunda mitad del siglo XIX, la física matemática británica estuvo fuertemente influida por los cuaterniones, especialmente a través de Peter Guthrie Tait. James Clerk Maxwell redactó su tratado de electromagnetismo apoyándose parcialmente en esa notación, pero el sistema resultaba intrincado para los problemas prácticos de ingeniería.
La Síntesis de Gibbs y Heaviside: El Triunfo del Cálculo Vectorial
Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside llegaron independientemente a la conclusión de que era útil separar la componente escalar y la componente vectorial del cuaternión. De allí surgieron las operaciones modernas de producto escalar y producto vectorial y el cálculo vectorial tridimensional que terminó imponiéndose en física e ingeniería.
Heaviside utilizó esta nueva notación para reformular y comprimir las ecuaciones electromagnéticas de Maxwell hasta la forma compacta hoy reconocida mediante operadores de divergencia y rotacional. Los partidarios de los cuaterniones, liderados por Tait, resistieron este paradigma, pero la claridad operativa del cálculo vectorial y la demostración experimental de las ondas electromagnéticas por Heinrich Hertz terminaron por inclinar la balanza a comienzos del siglo XX.
Aplicaciones Contemporáneas: Computación Gráfica y Simulación de Fluidos
En la industria del software, el desarrollo de motores gráficos para videojuegos, las herramientas de diseño asistido por computadora (CAD) y el renderizado fotorrealista dependen íntimamente del cálculo multivariable y de los campos vectoriales. La simulación de sistemas de partículas, humo, fuego y dinámica de fluidos computacional (CFD) exige resolver iterativamente ecuaciones como las de Navier–Stokes y calcular la divergencia de un campo de velocidades —que mide la tasa de expansión o compresión local— y el rotacional —que parametriza la vorticidad o tendencia del fluido a girar—.
Los procesos de síntesis de geometría e iluminación superficial (shading) requieren también el cómputo masivo de gradientes escalares y vectores normales. El gradiente aplicado a un campo escalar señala la dirección del máximo incremento espacial y, al proyectarse perpendicularmente a curvas o superficies de nivel, proporciona la orientación normal de la superficie, información vital para calcular el rebote e incidencia de la luz. Resulta significativo que, aunque el cálculo vectorial pragmático de Gibbs desplazó a los cuaterniones de Hamilton en gran parte de la física clásica, la computación gráfica del siglo XX los recuperó. Las matrices de rotación convencionales pueden sufrir bloqueo de cardán (gimbal lock) al animar objetos tridimensionales; los cuaterniones, al operar en un hiperespacio de cuatro dimensiones, permiten representar rotaciones e interpolaciones angulares evitando esa anomalía. La investigación gráfica contemporánea recurre asimismo a ideas del álgebra exterior de Grassmann para optimizaciones geométricas complejas y renderizado diferenciable. El recorrido histórico de estas herramientas muestra una constante: conceptos nacidos de problemas abstractos de geometría y álgebra terminan reapareciendo, décadas o siglos más tarde, como piezas esenciales de tecnologías computacionales concretas.
El Dinamismo del Tiempo: El Nacimiento de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Mientras que el cálculo multivariable y vectorial otorga los cimientos para mapear la topología del espacio, las ecuaciones diferenciales proporcionan el vocabulario matemático indispensable para describir cómo interactúan, cambian y evolucionan entidades y fenómenos físicos a lo largo del tiempo. Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) relaciona una función desconocida —que puede representar temperatura, posición o capital económico— con sus derivadas, las cuales encarnan sus tasas de cambio temporal o cinemático.
De la Geometría Clásica a los Modelos de Interacción Causales
La incubación conceptual de las ecuaciones diferenciales comenzó antes de que el cálculo fuese formalizado, apoyándose en aproximaciones como el método de exhaución de Eudoxo, el método de los indivisibles de Buenaventura Cavalieri y los trabajos de Pierre de Fermat sobre máximos, mínimos y cuadraturas. El desarrollo operativo y sistemático de la disciplina se desencadenó a fines del siglo XVII, coincidiendo con la invención del cálculo infinitesimal por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. En su Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum de 1671, Newton documentó tipologías de “ecuaciones fluxionales” orientadas a problemas de geometría analítica y mecánica clásica. Paralelamente, Leibniz y los hermanos Jacob y Johann Bernoulli abordaron desafíos isoperimétricos como la braquistócrona y consolidaron un léxico diferencial de enorme longevidad.
Durante el siglo XVIII, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace expandieron el dominio de las ecuaciones diferenciales hacia la mecánica celeste, medios continuos oscilantes y problemas variacionales. En esa etapa, la disciplina funcionaba en gran medida como una colección de técnicas ingeniosas para encontrar soluciones analíticas exactas mediante sustituciones y cambios de variables.
El siglo XIX trajo un cambio de paradigma. Bajo la influencia de Augustin-Louis Cauchy se fortalecieron los teoremas de existencia y unicidad, y se hizo evidente que no toda ecuación diferencial admite una solución simbólica expresable mediante funciones elementales. Este reconocimiento impulsó dos grandes vertientes: los métodos numéricos iterativos —como Euler y Runge–Kutta— y el análisis cualitativo. Henri Poincaré, enfrentado al problema de los tres cuerpos, contribuyó decisivamente a la teoría de sistemas dinámicos al estudiar estabilidad, ciclos límite y recurrencias sin depender de una fórmula cerrada para cada trayectoria.
El Determinante Wronskiano y el Mesianismo de Józef Maria Hoene-Wroński
En el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior, la construcción de la solución general depende de identificar un conjunto fundamental de soluciones linealmente independientes. La herramienta algebraica empleada para dictaminar esta independencia es el Determinante Wronskiano.
El Wronskiano es un determinante matricial construido con las funciones en estudio y sus derivadas sucesivas. Si su valor es distinto de cero en un intervalo, el conjunto de funciones es linealmente independiente y puede utilizarse como base para construir, mediante combinaciones lineales, la solución general de la ecuación diferencial correspondiente.
Esta conexión entre matrices, determinantes y espacios funcionales fue concebida en 1812 por el matemático, filósofo, ingeniero y exoficial militar polaco Józef Maria Hoene-Wroński (1776–1853). Wroński tuvo una biografía muy alejada de la del académico tradicional. Nacido en Wolsztyn, prestó servicio en ejércitos polacos y en la artillería rusa, estudió de forma itinerante y terminó radicándose en Francia. En el ámbito técnico desarrolló enfoques sobre expansiones funcionales en series infinitas y, en ese contexto, apareció la formulación del determinante que hoy lleva su nombre.
Su recepción estuvo dificultada por una filosofía fuertemente impregnada de misticismo y por su llamada filosofía de lo Absoluto. Wroński es reconocido en la historia cultural como figura del “Mesianismo Polaco” y su obra combinó ciencia, filosofía y doctrinas esotéricas de una forma que generó fuerte rechazo en la comunidad académica de su tiempo. Murió en 1853 en situación de pobreza y ostracismo. Décadas después, Thomas Muir recuperó la importancia técnica del determinante para la teoría de ecuaciones diferenciales y el nombre “Wronskiano” quedó incorporado a la terminología matemática.
El Dominio de la Frecuencia: La Odisea de Fourier y los Espacios Funcionales de Hilbert
Mientras las EDO prosperaban en la descripción de sistemas mecánicos y dinámicos, los problemas de conducción y disipación térmica en sólidos exigían nuevas herramientas. Joseph Fourier (1768–1830), cuya vida estuvo entrelazada con la Revolución Francesa y la era napoleónica, dedicó una parte decisiva de su trabajo al estudio del flujo de calor.
En su Théorie analytique de la chaleur, publicada en 1822, Fourier formuló la Ecuación del Calor, arquetipo de las ecuaciones parabólicas que modelan procesos de difusión. Su propuesta decisiva fue afirmar que una función periódica arbitraria —incluso con discontinuidades o formas no suaves— podía representarse como una suma lineal infinita de funciones trigonométricas armónicas, senos y cosenos de distintas frecuencias multiplicados por coeficientes de ponderación específicos. La hipótesis de Fourier chocó con el escepticismo de matemáticos de su época porque el concepto de “función” estaba todavía asociado a expresiones analíticas suaves. La idea de reconstruir una curva dentada, escalonada o discontinua a partir de ondas trigonométricas perfectamente lisas desafiaba la intuición matemática dominante. Sin embargo, su eficacia para describir fenómenos térmicos fue extraordinaria y la Serie de Fourier terminó transformando el análisis matemático.
El impacto de la serie se extendió desde la difusión de calor hacia la óptica ondulatoria, las vibraciones acústicas y el análisis armónico, y contribuyó a impulsar la formalización moderna de las funciones y la convergencia.
La Sinfonía del Álgebra Lineal en Dimensión Infinita: Espacios de Hilbert
La interpretación moderna de las Series de Fourier constituye un puente directo entre el álgebra lineal de dimensión finita y el análisis funcional. En un espacio euclidiano finito, cualquier vector puede descomponerse como combinación lineal ponderada de vectores base ortogonales. La generalización conceptual consiste en trasladar esa idea a espacios de dimensión infinita en los que los “vectores” son funciones completas.
Estos espacios son los Espacios de Hilbert. En el espacio funcional L², una función de cuadrado integrable adquiere propiedades análogas a las de un vector: posee norma y puede compararse con otras funciones mediante un producto interno. Así como el producto punto permite proyectar un vector sobre otro en R^n, el producto interno funcional ⟨f,g⟩ = ∫_a^b f(x)g(x) dx permite medir la proyección de una función sobre otra.
Correspondencias fundamentales:
• Vector estático v = (v₁,…,vₙ) en R^n ↔ función f(x) en L².
• Producto punto discreto u·v = Σuᵢvᵢ ↔ producto interno funcional ∫f(x)g(x)dx.
• Vectores canónicos de base ortogonal ↔ ondas seno y coseno de frecuencias armónicas.
• Proyección escalar algebraica ↔ coeficiente de Fourier.
Desde esta perspectiva, descomponer una señal mediante una Serie de Fourier equivale a proyectar un “vector-función” sobre una base ortonormal infinita. La Identidad de Parseval y la Desigualdad de Bessel aparecen entonces como generalizaciones del Teorema de Pitágoras en espacios de dimensión infinita.
El Milagro del Cálculo Operacional: De los Abismos de Laplace a las Redes de Heaviside
Las series de Fourier son particularmente poderosas para fenómenos periódicos y estados estacionarios, pero los procesos transitorios —como la respuesta inicial de un amortiguador o una descarga eléctrica al cerrar un circuito— exigen herramientas capaces de tratar comportamientos no periódicos. Este desafío impulsó el uso de transformaciones integrales en el plano complejo y, con ellas, la Transformada de Laplace.
El Preámbulo de Euler y la Intuición de Laplace
Los primeros tanteos con integrales de núcleo exponencial aparecen en Leonhard Euler hacia 1744. Joseph-Louis Lagrange utilizó después expresiones similares en problemas probabilísticos. Pierre-Simon Laplace retomó estas ideas y, entre fines del siglo XVIII y comienzos del XIX, utilizó transformaciones integrales para modificar la anatomía de ecuaciones difíciles y estudiar sus soluciones en un dominio transformado. En 1809 mostró cómo variaciones de este operador podían emplearse en problemas difusivos extendidos en dominios no acotados. La Crisis del Telégrafo y el Rebelde Cálculo de Heaviside
La expansión del telégrafo transatlántico convirtió estas ideas en una necesidad de ingeniería. Los cables submarinos sufrían dispersión, retraso y deformación de pulsos electromagnéticos. Oliver Heaviside desarrolló un “Cálculo Operacional” que trataba el operador de derivación temporal d/dt como un símbolo algebraico p, transformando ecuaciones diferenciales intrincadas en expresiones algebraicas mucho más manejables.
Con este método, Heaviside analizó las ecuaciones de línea del telégrafo, la impedancia, los cables coaxiales y las condiciones de transmisión sin distorsión. Su procedimiento fue criticado por carecer del rigor formal de la época, aunque sus resultados de ingeniería funcionaban. A comienzos del siglo XX, T. J. I’Anson Bromwich justificó parte de estas reglas mediante transformaciones integrales en el plano complejo, y más tarde Jan Mikusiński proporcionó una formulación algebraica rigurosa basada en estructuras de anillos y cocientes de convolución. Estas líneas de trabajo mostraron retrospectivamente la relación profunda entre el cálculo operacional de Heaviside y la Transformada de Laplace.
Ingeniería Superior Moderna: Espacio de Estados, Control y Matrices de Estabilidad Routh-Hurwitz
En la ingeniería moderna, la Transformada de Laplace es una herramienta central de la teoría de control clásica para modelar, estabilizar y optimizar sistemas dinámicos Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). Al transformar una ecuación diferencial desde el dominio temporal t al dominio complejo s, derivadas e integrales se convierten en operaciones algebraicas y el comportamiento del sistema puede estudiarse mediante polinomios, polos, ceros y respuestas frecuenciales.
La relación entre la salida Y(s) y la entrada U(s) define la Función de Transferencia H(s) = Y(s)/U(s). En representación matricial, una expresión equivalente aparece como C(sI − A)⁻¹B + D. Las funciones de transferencia permiten analizar respuestas transitorias, amortiguamiento, márgenes de fase, resonancias y diagramas de Bode, además de diseñar controladores PID y compensadores para plantas lineales. Para sistemas con múltiples variables de entrada y salida, la representación en Espacio de Estados reúne el álgebra lineal matricial con las ecuaciones diferenciales:
ẋ = A x + B u
y = C x + D u
El vector x representa las variables internas de estado, u las entradas y y las salidas observables. Este formalismo es indispensable para sistemas MIMO (Multiple-Input Multiple-Output), robótica, navegación satelital, filtrado de Kalman, control LQR y otras aplicaciones donde muchas variables dinámicas están acopladas.
Dos paradigmas complementarios quedan así vinculados:
• Función de Transferencia, dominio de frecuencia s: H(s)=Y(s)/U(s), especialmente útil para sistemas SISO, control PID, respuestas frecuenciales, diagramas de Bode y márgenes de estabilidad.
• Espacio de Estados, dominio temporal matricial t: ẋ=Ax+Bu, apropiado para sistemas acoplados de gran dimensión, control moderno y redes multivariables MIMO. El análisis de estabilidad conduce al estudio de las raíces del polinomio característico, los polos y los autovalores de la matriz dinámica A. Cuando el orden del sistema crece, calcular explícitamente todas las raíces puede ser difícil. El criterio de Routh–Hurwitz ofrece una vía algebraica para determinar la estabilidad sin resolver de forma explícita el polinomio completo.
Edward John Routh formuló en 1877 una versión inicial del criterio y Adolf Hurwitz desarrolló resultados relacionados en 1895. El método organiza los coeficientes del polinomio característico en un arreglo tabular y permite inferir la distribución de raíces respecto del semiplano complejo a partir de los cambios de signo de una columna principal. Su valor histórico y práctico reside en transformar una pregunta sobre raíces complejas en un procedimiento algebraico estructurado.
Hacia la Frontera Final del Futuro Tecnológico: El Legado Continuado del Álgebra Multivariable en la Criptografía Reticular
Las herramientas desarrolladas a lo largo de este recorrido —álgebra matricial, cálculo multivariable, espacios funcionales, transformadas y teoría de sistemas— no quedan confinadas a la mecánica, la termodinámica o el control. Uno de sus campos contemporáneos de proyección es la Criptografía Post-Cuántica y, en particular, la Criptografía Basada en Retículos Matemáticos Multidimensionales (Lattice-based Cryptography).
La motivación surge del riesgo que la computación cuántica representa para sistemas criptográficos clásicos dependientes de problemas como la factorización y el logaritmo discreto, entre ellos RSA y la criptografía de curvas elípticas. Los esquemas basados en retículos trasladan la seguridad hacia problemas geométricos y algebraicos en espacios de alta dimensión, donde vectores, bases, normas, transformaciones lineales y estructuras matriciales vuelven a desempeñar un papel central. De este modo, conceptos que atraviesan la formación matemática desde el álgebra lineal hasta el cálculo avanzado reaparecen en una de las fronteras actuales de la ciberseguridad.
Fuentes citadas
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62. University of Washington Lecture Notes for ME547 Linear Systems — https://faculty.washington.edu/chx/teaching/me547/UW_ME547_notes_Chen.pdf
63. Linear Control Theory: Part I – Jacob Steinhardt — https://jsteinhardt.stat.berkeley.edu/blog/linear-control-theory-part-i
64. ECE171A: Linear Control System Theory Lecture 7: Stability – Nikolay A. Atanasov — https://natanaso.github.io/ece171a/ref/ECE171A_7_Stability.pdf
65. Use of Routh-Hurwitz if you have the eigenvalues? – Mathematics Stack Exchange — https://math.stackexchange.com/questions/690634/use-of-routh-hurwitz-if-you-have-the-eigenvalues
66. EE C128 / ME C134 – Feedback Control Systems – Lecture – Chapter 6 – Stability — https://bayen.berkeley.edu/sites/default/files/ee_c128_chapter_6.pdf
67. Routh-Hurwitz Stability Interactive Calculator – Firgelli Automations — https://www.firgelliauto.com/blogs/calculators/routh-hurwitz-stability-calculator
68. Systems Analysis and Control – Lecture 10: Routh-Hurwitz Stability Criterion – Matthew M. Peet — https://control.asu.edu/Classes/MAE318/318Lecture10.pdf
69. Horario de asignaturas Periodo 2021 – Ingeniería UC — https://www.ing.uc.cl/electrica/wp-content/uploads/2021/01/oferta-academica-usm-s1-2021_campus-san-joaquin_2.pdf
70. Lattice-based cryptography – Wikipedia — https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice-based_cryptography
71. A Gentle Introduction to Lattice-Based Cryptography — https://cryptography101.ca/wp-content/uploads/lattice-based-cryptography.pdf
72. Prepping for post-quantum: a beginner's guide to lattice cryptography – Cloudflare Blog — https://blog.cloudflare.com/lattice-crypto-primer/
73. Necessary Linear Algebra for Lattice based cryptography – Reddit — https://www.reddit.com/r/crypto/comments/hzcbxg/necessary_linear_algebra_for_lattice_based/
74. Lattice based cryptography — https://intensecrypto.org/public/lec_12_lattices.html